Récurrence et multiples de 4 - Corrigé

Énoncé

Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , le nombre $2+3^{2n}+5^{3n}$ est un multiple de $4$ .

Solution

Pour $n\in \mathbb{N}$ , soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $2+3^{2n}+5^{3n}$ est un multiple de $4$ , autrement dit : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $2+3^{2n}+5^{3n}=4k$ .

Initialisation
Montrons que $\mathcal{P}(0)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $2+3^{2\times 0}+5^{3\times 0}=4k$ .
D'une part : $2+3^{2\times 0}+5^{3\times 0}=2+1+1=4$ .
D'autre part : pour $k=1$ , on a $4\times 1=4$ .
La propriété $\mathcal{P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier $n\in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.
Montrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe $k^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que $2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}=4k^{\prime }$ .

On a :

$\begin{array}{rl}2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}& =2+3^{2n+2}+5^{3n+3}=2+3^{2n}\times 3^2+5^{3n}\times 5^3=2+3^{2n}\times 9+5^{3n}\times 125\end{array}$  or par hypothèse de récurrence, $3^{2n}=4k-2-5^{3n}$ , donc : 

$\begin{array}{rl}2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}& =2+(4k-2-5^{3n})\times 9+5^{3n}\times 125\\ & =2+4k\times 9-2\times 9-5^{3n}\times 9+5^{3n}\times 125\\ & =2\times (1-9)+4k\times 9+5^{3n}\times (-9+125)\\ & =2\times (-8)+4k\times 9+5^{3n}\times 116\\ & =2\times (-2)\times 4+4k\times 9+5^{3n}\times 4\times 29\\ & =4(2\times (-2)+9k+5^{3n}\times 29)\\ & =4k^{\prime }\end{array}$   
avec $k^{\prime }=2\times (-2)+9k+5^{3n}\times 29\in \mathbb{Z}$ , et la propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est donc vraie.

Conclusion
Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $2+3^{2n}+5^{3n}$ est un multiple de $4$ .