Récurrence et multiples de 4 - Corrigé

Énoncé

Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , le nombre \(2+3^{2n}+5^{3n}\) est un multiple de \(4\) .

Solution

Pour \(n \in \mathbb{N}\) , soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \(2+3^{2n}+5^{3n}\) est un multiple de \(4\) , autrement dit : il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(2+3^{2n}+5^{3n}=4k\) .

Initialisation
Montrons que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie, c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(2+3^{2 \times 0}+5^{3 \times 0}=4k\) .
D'une part : \(2+3^{2 \times 0}+5^{3 \times 0}=2+1+1=4\) .
D'autre part : pour \(k=1\) , on a \(4 \times 1 = 4\) .
La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie.
Montrons que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire qu'il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}=4k'\) .

On a :

\(\begin{align*}2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}& = 2+3^{2n+2}+5^{3n+3}= 2+3^{2n} \times 3^2+5^{3n} \times 5^3= 2+3^{2n} \times 9+5^{3n} \times 125\end{align*}\)  or par hypothèse de récurrence, \(3^{2n}=4k-2-5^{3n}\) , donc : 

\(\begin{align*}2+3^{2(n+1)}+5^{3(n+1)}& = 2+(4k-2-5^{3n}) \times 9+5^{3n} \times 125\\& = 2+4k \times 9-2 \times 9-5^{3n} \times 9+5^{3n} \times 125\\& = 2 \times (1-9)+4k \times 9+5^{3n} \times (-9+125)\\& = 2 \times (-8)+4k \times 9+5^{3n} \times 116\\& = 2 \times (-2) \times 4+4k \times 9+5^{3n} \times 4 \times 29\\& = 4(2 \times (-2)+9k+5^{3n} \times 29)\\& = 4k'\end{align*}\)   
avec \(k'=2 \times (-2)+9k+5^{3n} \times 29 \in \mathbb{Z}\) , et la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(2+3^{2n}+5^{3n}\) est un multiple de \(4\) .